Неприятно видеть эпидемию слез и гнева по поводу убитой в Газе акулы. Умом я понимаю, что это такое развлечение и что через месяц никто не вспомнит эту несчастную акулу, но все равно неприятно, ничего не могу поделать.

Только что закончилась война в Газе (а может, и не закончилась еще, кто знает). Во время войны наши ракеты, бомбы, мины и пули убили несколько десятков тысяч жителей Газы - многие из них члены Хамаса и другие террористы, но далеко не все - включая несколько тысяч маленьких детей.

Да, войну начали не мы, а Хамас. Да, 7 октября они сознательно убивали мирных жителей и в том числе детей, а мы стараемся убивать именно террористов. Да, я считал и считаю, что главная вина за все эти смерти лежит на Хамасе, и что 100% надо было идти и воевать, даже зная, что будет много таких смертей. Да, я не считаю, что кто-либо *обязан* расстраиваться по поводу смертей детей в Газей, а тем более писать об этом посты в соц. сетях. Более того, я и сам не писал таких постов (но я и про акулу не пишу). Более того, я не настолько скорблю по этому поводу, чтобы постоянно об этом думать, и не ощущаю ужасной вины и не мучаюсь. Для меня лично не все жертвы равны, даже мирные и даже дети, и о наших жертвах, не говоря уж о заложниках, я эти два года думал и горевал несравнимо больше. Все это правда.

Да, все это правда.

Но есть какой-то предел.

Это все, что я хотел сказать на эту тему.

Подумал, что я знаю три примера песен по-русски, в которых есть неправильная грамматика. Я имею в виду в морфологическом смысле (падежи, склонения, спряжения, все такое), а не "неправильные" слова типа одеть/надеть.

1. Чайф, "Шаляй-валяй":

Я думал, у нас в запасе еще как минимум лет пять.
Я был просто уверен, что у нас хватит время
попить пиво и поболтать...

2. Иваси, "Кончается четверг":

Кончается четверг, и дождик мелок
И трудно разглядеть в промозглой мгле
Чего-то, что на небо улетело,
И то, чего осталось на Земле...

3. Алена Швец, "Две девочки":

Хочешь, я имя твоё набью?
А сверху еловые веточки.
Мир так жесток, если вдруг любовь
Чувствуют между две девочки...

А есть еще такие?

Матт Иглесиас в твиттере:

"Это сводит меня с ума — когда Джо Байден был президентом, идея соглашения о прекращении огня, которое вернуло бы заложников и оставило ХАМАС на месте, изображалась американскими еврейскими правыми как величайшее предательство еврейского народа в истории. Теперь Трамп делает это, и он гений.

Дело не только в том, что мы легко могли бы получить это соглашение в 2024 году, если бы у администрации Байдена была политическая поддержка справа для его реализации, мы ФАКТИЧЕСКИ ИМЕЛИ ЭТО СОГЛАШЕНИЕ в январе 2025 года, и Трамп с Нетаньяху намеренно его сорвали.

Куча заложников провела в плену дополнительные месяцы, масса палестинцев погибла, международная репутация Израиля рухнула, и не было достигнуто никаких стратегических целей, которые не были бы уже на месте в марте. Я рад, что Трамп передумал, но это последовательность событий бесит."

Редкий случай, когда я совсем не согласен с Иглесиасом.

Между соглашениями в январе и сейчас есть три огромные разницы:

1. Тогда не было согласия Хамаса сложить оружие, теперь оно (принципиальное) есть
2. Тогда освобождение заложников было постепенным и зависело от полного отхода из Газы, теперь все заложники уже на свободе
3. Тогда не было плана дальнейшего управления Газой, с поддержкой арабских стран, теперь он есть.

Вместе с тем есть и недостаток ситуации сейчас по сравнению с тогда: сейчас, мне кажется, намного тяжелее будет в случае надобности возобновить военные действия в Газе.

Для израильского правительства всю дорогу непременным условием окончания войны было разоружение Хамаса и его отход от власти. Вопрос в том, превратится ли принципиальное согласие Хамаса на это (13-й пункт из Двадцати Пунктов Трампа) в реальные действия. Пока что мы видим полное возвращение Хамаса к военной власти на оставленных нашей армией территориях, а подробности дальнейшего развития обсуждаются на дополнительных переговорах.

Я пытаюсь сказать следующее: если через месяц или два или три окажется, что в Газе ничего не изменилось в сравнении с сегодняшним днем, Хамас отказывается уйти от власти, затягивая переговоры по каким-то надуманным причинам или срывая их по другим надуманным причинам, а мы с этим ничего не делаем, потому что а) участие арабских стран это просто красивые слова б) на то, чтобы снова атаковать Хамас в Газе, нет ни внутреннего согласия (заложников больше нет), ни разрешения его величества Трампа (не смейте портить мое соглашение) --
тогда действительно Иглесиас будет прав, и мы ничего не добились по сравнению с соглашением начала 2025, и всем от этого затягивания было только хуже, кроме Нетаниягу.

Но у меня абсолютно нет никакой уверенности, что это то, что будет. Это всего лишь худший вариант, у которого есть немалая вероятность. Вполне может быть, что все пойдет более или менее по плану соглашения. Хорошо, если будет так.

Пять лет назад, после смерти замечательного математика и автора игры "Жизнь" Джона Конвея (напомню, что он умер от коронавируса в апреле 2020), математик Алекс Конторович написал в твиттере цепочку сообщений с воспоминаниями о нем:

=========
Моё знакомство с "настоящей" математикой началось на первом курсе, когда я изучал линейную алгебру у Конвея. У нас есть сотня историй о Конвее только из этого одного курса.

Как изучать векторные пространства? Вычислить размерность пространства магических квадратов 3x3!

Почему жорданова нормальная форма полезна? Чтобы вычислять асимптотические темпы роста последовательности Аудиоактивного распада!

Он объяснял одновременную диагонализацию следующим образом: принёс проволочную вешалку, монетку и зонтик. Вытянул вешалку в форму ромба и, держа её на пальце, сбалансировал монетку на кончике вешалки. Затем он начал её вращать (без клея, монетка держалась сама). "Диагонализовав" первую операцию, он перешёл к балансированию зонтика на подбородке! Какой же он был шоумен! Невозможно забыть теорему, если она представлена таким образом.
========

Первый пример, размерность пространства магических квадратов 3x3 - забавное упражнение для изучающих линейную алгебру. Я не смог сделать это в уме, но на бумаге довольно легко.

Второй пример - пришлось подсмотреть, о чем речь. Я читал об этом когда-то, но подробности забыл.

"Последовательность аудиоактивного распада", это другое название смешной последовательности "посмотри-и-скажи", которую изучал Конвей: 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211... каждое новое число получается от того, что мы "читаем вслух" предыдущее. Например, 21 это "одна двойка, одна единица", т.е. 1211, а это в свою очередь "одна единица, одна двойка, две единицы", т.е. 111221, и так далее.

С помощью линейной алгебры можно показать, что длина числа увеличивается примерно на 30% - в пределе в точности на 1.304...., число, которое назвали постоянной Конвея. Любую строку цифр можно разбить на "атомы", которые развиваются по правилу посмотри-и-скажи независимо друг от друга; всего атомов оказалось 92, поэтому по аналогии с химическими элементами и радиоактивным распадом Конвей назвал этот процесс "аудиоактивным распадом". Длина следующего числа зависит только от того, сколько атомов каждого вида есть в предыдущем, а правила, какие атомы превращаются в какие, можно записать в виде матрицы, и оказывается, что постоянная Конвея как раз наибольшее собственное значение этой матрицы.

"Жорданова нормальная форма" тут, если я верно понял, чуть-чуть притянута за уши, в том смысле, что она нужна лишь для того, чтобы прочитать наибольшее собственное значение; но его и так нужно знать, чтобы эту форму построить.

А третий пример, про вешалку, монетку, и зонтик, я не понял, честно говоря.

Странно иметь жесткое мнение о голливудском актере, но тем не менее - мне крайне не нравится любимчик публики Тимоти Шаламе, ни лицом (похожим на хорька), ни личностью - и началась эта неприязнь, когда в разгар MeToo пошла волна травли и отмены Вуди Аллена за обвинения 30-летней давности - и Шаламе, только что сыгравший главную роль в новом фильме Аллена, тут же заявил, как он возмущен и что никогда не будет с ним больше работать.

Сегодня попалось где-то упоминение автобиографии Аллена - решил посмотреть, что он пишет об этом случае. Вот что:

"Все три исполнителя главных ролей в «Дождливом дне» были превосходны, и с ними было приятно работать. Тимоти впоследствии публично заявил, что сожалеет о работе со мной и отдаёт гонорар на благотворительность, но приватно он поклялся моей сестре, что был вынужден это сделать, поскольку был номинирован на «Оскар» за фильм «Назови меня своим именем», и он с его агентом считали, что у него будет больше шансов на победу, если он осудит меня, что он и сделал. В любом случае, я не жалею о работе с ним и не собираюсь возвращать свои деньги."

Мнение подкрепилось.

Думаю о том, как знакомить школьников с понятием доказательства в математике, и как расширять это знакомство. Несколько разрозненных мыслей (вполне могу быть неправ по фактам, поправляйте, если так).

В школьной программе математики большинство материала никак не касается доказательств. Школьники, например:
- решают уравнения и неравенства
- решают текстовые задачи, превращая условие в уравнение
- рисуют графики функций, берут производные, находят критические точки
итд. итп.

При этом они пользуются методами, формулами, законами итд., которые принимают на веру. Формула корней квадратного уравнения, тригонометрические тождества, правила работы с дробями, правила взятия производной... В зависимости от страны, школы, программы некоторые из этих вещей выводятся и "доказываются" учителем на доске, но редко и в любом случае это потом не повторяется и не ощущается учениками как важная часть занятий математикой.

Есть только два исключения, из того, что я помню как ученик и видел как родитель. Значительная часть геометрии (большое исключение) и принцип индукции и задачи на него (маленькое). Но индукция воспринимается как "странный трюк", к которому надо привыкнуть и вставлять в него нужные условия. А геометрические задачи, во-первых, часто маскируют доказательную часть под налетом "решательной" (найдите, чему равен этот угол, найдите площадь четырехугольника, если известно...), и во-вторых, даже задачи на доказательство сводятся чаще всего к поиску того, какие заученные правила надо использовать (этот треугольник равнобедренный; какой треугольник подобен какому? четырехугольник вписан в окружность, значит что?).

Я пытаюсь подобраться тут к ощущению процесса доказательства, знакомому любому студенту, изучавшему высшую математику на серьезном уровне. У нас есть некое утверждение: из A следует B. Мы внимательно фиксируем в уме и продумываем, что нам известно (А и что следует из А), и постепенно движемся от этого к B, все время держа в уме, что мы уже знаем, что еще нет. Это движение необязательно линейное от начала к концу, часто оно разветвляется (рассмотрим отдельно эти две возможности...) или переворачивается от конца к началу (предположим, что B неверно, тогда...). Иногда мы заостряем внимание на части работы, и доказываем это отдельно (тоже, возможно, с переворотами или разделениями на разные пути). Ученик для начала читает такое доказательство, и в идеале внимательно прослеживает весь поток мысли, проверяя, что понимает каждый шаг. Затем, постепенно, начиная с очень простых упражнений, учится формулировать такие доказательства сам. Как и с любым сложным умением, физическим или ментальным, это усваивается и улучшается постепенно, от простого к сложному, от краткого к длинному, от прямолинейного к гибкому. Но всю школьную математику можно пройти и сдать, вообще не освоив это умение ни в каком виде, как мне кажется.

Именно усвоение этого умения оказывается часто тем, что останавливает студентов в изучении математики. Скажем, в американских колледжах, как я понимаю, часто преподают матанализ в два подхода: курс Calculus практически без доказательств, а потом курс Real Analysis с доказательствами эпсилон-дельта, где все строго. И это очень часто случается, что студент прекрасно справляется с Calculus, а на доказательствах мозги заворачиваются и он ощущает (справедливо или нет, отдельный вопрос), что вот тут его потолок. Мне попадалось несчетное число воспоминаний именно такого типа.

Как помочь школьникам, не выходя за рамки школьной программы - или выходя, но не значительно - освоить понятие доказательства и привыкнуть к нему? Геометрические задачи - самое близкое, что есть, но из-за того, что они подогнаны под усвоенные "факты", которые надо использовать, недостаточно - мне кажется - присутствует вот это ощущение мысли, ползущей по маршруту - который кто-то проложил или ты сам открываешь - и следящей все время за тем, что известно, что нужно, каков общий план. Кроме того, в геометрических задачах почти не бывает доказательства от противного и редко - разбор разных случаев, так это эта ментальная гибкость "переворота" и "разветвления" тоже не тренируется.

Нужен, мне кажется, тип заданий, сознательно формирующий и тренирующий эту гибкость. Недостаточно (по личному опыту), скажем, показать пару красивых примеров, типа доказательства, что квадратный корень из двух не рационален. Даже когда ученик это хорошо понимает, это отдельный красивый трюк, а не метод. Нужно именно много разных примеров, с упражнениями, начиная с очень простых. Неважно на данный момент, речь идет о собственно программе или дополнительной работе ученика, пока меня интересует, как вообще этого добиться, не в рамках олимпиадного кружка для того мизерного процента, которые на лету все схватывают, а с более широким охватом. Пока приходят на ум такие варианты, но буду рад услышать еще или о вашем опыте с этими:

- собственно геометрия, но с упором на аксиоматику. Исторически это было собственно чтение и прорабатывание "Начал" Эвклида. У этого есть свои недостатки (аксиомы Эвклида неполны, понять, зачем доказывать очевидное, не всегда легко), но и несомненные достоинства (связь с историей, большое количество аккуратно прочерченных мыслительных маршрутов, по которым надо пройти)

- логические задачи. Начиная с простых силлогизмов, затем усложняя, тренируя все время именно прохождение - или прокладывание - маршрута, с вниманием к переворотам и разветвлениям. Книги Смаллиана итп. Недостаток тут (и одновременно достоинство) в упоре на логику, мало собственно математики.

(P.S. Есть много разных книг вида "Введения в доказательства" или "Как устроены доказательства", которые мне обычно кажутся неподходящими для заданной в своем же названии темы. Даже в качестве пособий для студентов, уже изучающих высшую математику. А книги, подобные "Как решать задачу" и другим книгам Пойа, наоборот, уже для тех, кто все эти основы хорошо понял.)